[DataStructure] 5. Red-Black Tree

5. Red- Black Tree

트리 자료구조 중 Red- Black Tree에 대해서 알아본다. RBT는 BST를 기반으로하는 트리 형식의 자료구조이다.

BST(Binary Search Tree)

효율적인 탐색을 위해서는 어떻게 찾을까만 고민해서는 안된다. 그보다는 효율적인 탐색을 위한 저장방법이 무엇일까를 고민해야 한다. 이진 탐색 트리는 이진 트리의 일종이다. 단 이진 탐색 트리에는 데이터를 저장하는 규칙이 있다. 그리고 그 규칙은 특정 데이터의 위치를 찾는데 사용할 수 있다.

규칙 1. 이진 탐색 트리의 노드에 저장된 키는 유일하다.

규칙 2. 루트 노드의 키가 왼쪽 서브 트리를 구성하는 어떠한 노드의 키보다 크다.

규칙 3. 루트 노드의 키가 오른쪽 서브 트리를 구성하는 어떠한 노드의 키보다 작다.

규칙 4. 왼쪽과 오른쪽 서브트리도 이진 탐색 트리이다.

이진 탐색 트리의 문제점

이진 탐색 트리의 탐색 연산은 O(log n)의 시간 복잡도를 갖는다. 트리의 높이를 하나씩 더해갈수록 추가할 수 있는 노드의 수가 두 배씩 증가하기 때문이다. 하지만 이러한 이진 탐색 트리는 Skewed Tree(편향 트리)가 될 수 있다. 저장 순서에 따라 계속 한 쪽으로만 노드가 추가되는 경우가 발생하기 때문이다. 이럴 경우 성능에 영향을 미치게 되며, 탐색의 Worst Case가 되고 시간 복잡도는 O(n)이 된다.

배열보다 많은 메모리를 사용하며 데이터를 저장했지만 탐색에 필요한 시간 복잡도가 같게 되는 비효율적인 상황이 발생한다. 이를 해결하기 위해 Rebalancing 기법이 등장하였다. 균형을 잡기 위한 트리 구조의 재조정을 Rebalancing이라 한다. 이 기법을 구현한 트리에는 여러 종류가 존재한다. (ex. AVL Tree, Red-Black Tree, B-Tree)

그 중에 Red-Black Tree 에 대해 알아보도록 하자.

결론부터 말하자면 Red-Black Tree에 데이터를 저장하게되면 Search, Insert, Delete 에 O(log n)의 시간 복잡도가 소요된다. 동일한 노드의 개수일 때, depth를 최소화하여 시간 복잡도를 줄이는 것이 핵심 아이디어이다. 동일한 노드의 개수일 때, depth가 최소가 되는 경우는 tree가 complete binary tree인 경우이다.

Red-Black Tree의 정의

Red-Black Tree는 다음의 성질들을 만족하는 BST이다.

1) 각 노드는 `Red` or `Black`이라는 색깔을 갖는다.

2) Root node의 색깔은 `Black`이다.

3) 각 leaf node는 `black`이다.

4) 어떤 노드의 색깔이 `red`라면 두 개의 children의 색깔은 모두 black이다.

5) 각 노드에 대해서 노드로부터 descendant leaves까지의 단순 경로는 모두 같은 수의 black nodes들을 포함하고 있다. 이를 해당 노드의 Black-Height라고 한다. (노드 x로부터 노드 x를 포함하지 않은 leaf node까지의 simple path 상에 있는 black nodes들의 개수)

Red-Black Tree의 특징

1) Binary Search Tree이므로 BST의 특징을 모두 갖는다.

2) Root node 부터 leaf node 까지의 모든 경로 중 최소 경로와 최대 경로의 크기 비율은 2보다 크지 않다. 이러한 상태를 balanced 상태라고 한다.

3) 노드의 child가 없을 경우 child를 가리키는 포인터는 NIL 값을 저장한다. 이러한 NIL들을 leaf node로 간주한다.

RBT는 BST의 삽입, 삭제 연산 과정에서 발생할 수 있는 문제점을 해결하기 위해 만들어진 자료구조이다.

이를 어떻게 해결한 것인가?

삽입

우선 BST의 특성을 유지하면서 노드를 삽입을 한다. 그리고 삽입된 노드의 색깔을 RED로 지정한다. Red로 지정하는 이유는 Black-Height 변경을 최소화하기 위함이다. 삽입 결과 RBT의 특성 위배(violation)시 노드의 색깔을 조정하고, Black-Height가 위배되었다면 rotation을 통해 height를 조정한다. 이러한 과정을 통해 RBT의 동일한 height에 존재하는 internal node 들의 Black-height가 같아지게 되고 최소 경로와 최대 경로의 크기 비율이 2미만으로 유지된다.

삭제

삭제도 삽입과 마찬가지로 BST의 특성을 유지하면서 해당 노드를 삭제한다. 삭제될 노드의 child의 개수에 따라 rotation 방법이 달라지게 된다. 그리고 만약 지워진 노드의 색깔이 Black이라면 Black-Height가 1 감소한 경로에 black node가 1개 추가되도록 rotation하고 노드의 색깔을 조정한다. 지워진 노드의 색깔이 red라면 Violation이 발생하지 않으므로 RBT가 그대로 유지된다.

Java에서 ArrayList도 내부적으로 RBT로 이루어져 있고, HashMap에서의 Seperate Chaining에서도 사용된다. 그만큼 효율이 좋고 중요한 자료구조이다. 

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